12-1 행렬의 랭크(Rank)의 정의와 중요성

행렬의 랭크(Rank)의 정의

 

행렬의 랭크는, 선형독립적인 행(또는 열)의 갯수를 나타낸다. 

정방행렬이 역행렬이 존재하는지를, 랭크를 통해 예측할수 있다.

 

 

:선형독립적인 열의 갯수 = 선형독립적인 행의 갯수

 

중요성

•상대적으로 쉽게 이해할 수 있는 사용처는 행렬의 역행렬 계산이다

•어떠한 N x N 크기의 정방행렬 A가 있다.

•이때 정방행렬 A의 랭크가 N이 아니면, A의 역행렬은 존재하지 않는다.

 

 

선형 결합 - 각요소에 상수를 곱하고 더하는 식

 

벡터 x, y에 상수를 곱하고 더해서 z를 만들었다면, z는 x,y의 선행결합이다. 

 

 

 

선형결합(linear combination)은 벡터 공간에서 두 개 이상의 벡터를 특정한 스칼라(상수)로 곱한 후 더한 결과입니다. 벡터들의 선형 결합은 스칼라의 가중치에 따라 새로운 벡터를 만들어낸다.

 

A와 B에 상수를 곱하고 더해서 C를 못 만들면, C는 A와 B에 대해 선형 독립이다

 

 

열 랭크

선형독립이 아닌 것을 제외(만들수있는것)- 남은열들이 선형독립(못만드는것들이 남음)

 

 

 

•위의 행렬에서, 세번째 열은 첫번째와 두번째 열을 더하는 것으로 만들 수 있다

세번째 열은 선형 독립이 아니다

•그에 반해, 첫번째와 두번째 열은 서로 선형 독립이다

•따라서 이 행렬의 랭크는 2이다

 

•행렬에는 두가지 랭크가 있다

1.선형 독립적인 열 (Column)의 개수

2.선형 독립적인 행 (Row)의 개수

 

•이 둘은 모든 행렬에 대해 같다는 것이 증명되었다

 

•위 행렬에서, 첫번째와 세번째, 두번째와 네번째 열은 같다 (Column Rank = 2)

•비슷하게, 세번째 행은 첫번째와 두번째 행의 합과 같다 (Row Rank = 2)