9. 확률변수의 조건부 확률 (Conditional Probability)과 독립성 (Independence), 결합확률

확률변수의 조건부 확률 (Conditional Probability)과 독립성을 설명해주세요.

 

 

•조건부 확률이란, 어떠한 사건이 발생하였을때, 다른 사건의 확률을 나타낸 것

•예를 들어, 사건 A가 발생했을 때 B가 일어날 확률은 P(B | A)

•만약 A와 B가 서로 독립적이라면, A가 발생한 것은 B의 확률에 아무런 영향을 주지 않는다

•따라서 P(B | A) = P(B)

•독립적이지 않다면 A가 발생한것이 B의 확률에 영향을 준다.

 

결합확률: 여러사건이 동시에 발생할 확률

 

확률이란?

•어떠한 사건의 가능성의 크기

•확률이 크다면, 이 사건이 일어날 가능성이 크다

 

•반대의 경우도 성립

 

•확률을 계산하는 가장 직관적인 방법은, 특정 경우의수의 비율을 직접적으로 세는 것이다

•주사위를 던져서 1이 나올 확률

 

•(1이 나오는 경우의 수) ÷ (전체 경우의 수)

•= 1 / 6

 

•어떠한 사건 A가 일어날 확률은, 전체 경우의 수 U에서, A가 차지하는 비율과 같다

 

•주사위 예시에서

•U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

•A = {1}

 

사건의 갯수 2개라면,

•만약 사건의 개수가 두개라면?

•사건 A = 주사위에서 1이 나옴

•사건 B = 동전을 던져서 앞면이 나옴

 

•주사위에 추가로 동전까지 사용

직관적으로, 경우의 수가 증가할 것

 

•동전의 결과와 상관없이, 주사위에서 1이 나올 확률은 1/6로 동일함

동전 던지기의 결과와 주사위는 무관

서로 독립된 사건들은 서로 확률에 영향을 끼치지 않는다

다른 사건의 결과를 아는 것이, 현재 사건에 영향을 미치지 않는다

 

 

•P(주사위 1 | 동전 앞) = P(주사위 1 | 동전 뒤) = P(주사위 1) = 1/6

동전 앞면이 나왔을때,

동전 앞면이 나온것을 알고 있을때

 

•A (주사위 1)의 확률 = 1/6

•B (동전 앞면)의 확률 = 1/2

•A의 확률 × B의 확률 = 1/12

•동일한 결과가 나옴

 

•하지만 만약 사건 A와 B가 독립적이지 않다면?

•예를 들어서, 동전을 먼저 던지고, 그 결과에 따라 다른 주사위를 사용한다면?

•만약 동전 앞면이 나온다면, {1, 1, 2, 2, 3, 3} 주사위 사용

•반대로 뒷면이 나온다면 {1, 2, 3, 4, 5, 6} 주사위 사용

	주사위 1	주사위 2	주사위 3	주사위 4	주사위 5	주사위 6
동전 앞면 (면2개같은주사위)	2	2	2	0	0	0
동전 뒷면 (면1개 주사위)	1	1	1	1	1	1

 

•동전 던지기의 결과를 모를 때, 주사위 1이 나올 확률은 (P(주사위 1))

•= (주사위에서 1이 나오는 경우의 수) ÷ (모든 경우의 수)

•= 3 / 12 = 1 / 4

•이전의 1/6과 비교했을때 소폭 상승

 

 

•따라서 사건 A (주사위 1), 와 B (동전 앞면)가 같이 일어날 확률은

 

•(사건 A와 B가 같이 일어나는 경우의 수) ÷ (모든 경우의 수)

•= 1 / 12

 

•이는 (A ∩ B)/(A ∪ B) 과 동일함

 

 

•만약 주어진 두 사건 A와 B가 독립적이라면 (하나의 사건이 다른 사건에 영향을 주지 않을때), 보다 쉽게 확률을 구하는 방법이 있음

•방법 첫번째는 지금까지 한 것처럼 모든 경우의 수를 세는 것

•두번째는 독립적인 사건들의 확률을 곱하는 것

•만약 A와 B가 서로 독립적이라면, A와 B가 같이 일어날 확률은 A의 확률과 B의 확률을 곱한 것과 같다

•A (주사위 1)의 확률 = 1/6

•B (동전 앞면)의 확률 = 1/2

•A의 확률 × B의 확률 = 1/12

•동일한 결과가 나옴

 

아래그림

•만약 동전을 던져서 앞면이 나왔을 때, 주사위 1이 나올 확률은?

•P(주사위 1 | 동전 앞면) = 2 / 6 = 1 / 3

•만약 동전이 뒷면이 나왔다면

•P(주사위 1 | 동전 뒷면) = 1 / 6

•동전을 던져서 앞면이 나왔다는 것이 주어졌을 때, 주사위 1이 나올 확률이 소폭 상승하였음

아래그림

하나의 사건이 다른사건에 영향을 미침

•조건부 확률이란, 어떠한 사건이 발생하였을때, 다른 사건의 확률을 나타낸 것

•예를 들어, 사건 A가 발생했을 때 B가 일어날 확률은 P(B | A)

 

•만약 A와 B가 서로 독립적이라면, A가 발생한 것은 B의 확률에 아무런 영향을 주지 않는다

•따라서 P(B | A) = P(B)

A와 B가 서로 독립적이지 않다면

A가 발생한것이 B의 확률에 영향을 준다.

 

P(A,B) = P(A) x P(B)

A와 B가 독립적일때만 성립

반대로, 이게 성립하면   A, B독립

•조건부 확률은 어떤 사건이 발생했을 때 다른 사건이 발생할 확률을 의미합니다.

•두 사건이 독립적이라면 하나의 사건 발생이 다른 사건의 발생에 영향을 미치지 않습니다.

•만약 독립적이지 않다면 영향을 미친다.  (다른주사위, 같은주사위)