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확률변수의 조건부 확률 (Conditional Probability)과 독립성 (Independence)의 개념에 대해 설명해 주세요.practice_선형대수 2024. 10. 1. 11:18
확률이란?
•어떠한 사건의 가능성의 크기•확률이 크다면, 이 사건이 일어날 가능성이 크다•반대의 경우도 성립•확률을 계산하는 가장 직관적인 방법은, 특정 경우의수의 비율을 직접적으로 세는 것이다•주사위를 던져서 1이 나올 확률•(1이 나오는 경우의 수) ÷ (전체 경우의 수)•= 1 / 6•어떠한 사건 A가 일어날 확률은, 전체 경우의 수 U에서, A가 차지하는 비율과 같다••주사위 예시에서•U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}•A = {1}•주사위에서 1이 나올 확률•= (주사위에서 1이 나오는 경우의 수) ÷ (모든 경우의 수)•주사위에서 1이 나오는 경우의 수는?•(주사위: 1, 동전: 앞), (주사위: 1, 동전: 뒤)2•모든 경우의 수는? 12로 동일•따라서 주사위에서 1이 나올 확률은 2/12 = 1/6•동전의 결과와 상관없이, 주사위에서 1이 나올 확률은 1/6로 동일함동전 던지기의 결과와 주사위는 무관•서로 독립된 사건들은 서로 확률에 영향을 끼치지 않는다다른 사건의 결과를 아는 것이, 현재 사건에 영향을 미치지 않는다•P(주사위 1 | 동전 앞) = P(주사위 1 | 동전 뒤) = P(주사위 1) = 1/6동전 앞면이 나왔을때,
동전 앞면이 나온것을 알고 있을때
•예제: 똑같이 주사위와 동전이 있을 때, 동전에서 앞면이 나오고, 동시에 주사위에서 1이 나올 확률은?•사건 A = 주사위에서 1이 나옴•사건 B = 동전을 던져서 앞면이 나옴•사건 A와 B가 같이 일어날 확률은?•(사건 A와 B가 같이 일어나는 경우의 수) ÷ (모든 경우의 수)•주사위는 6, 동전은 2의 경우의 수가 있음•이때 모든 경우의 수는?•6 (주사위) × 2 (동전) = 12•주사위에서 1과 동전 앞면이 같이 일어나는 경우의 수는?•(주사위: 1, 동전: 앞)1•따라서 사건 A (주사위 1), 와 B (동전 앞면)가 같이 일어날 확률은••(사건 A와 B가 같이 일어나는 경우의 수) ÷ (모든 경우의 수)•= 1 / 12••이는 (A ∩ B)/(A ∪ B) 과 동일함•만약 주어진 두 사건 A와 B가 독립적이라면 (하나의 사건이 다른 사건에 영향을 주지 않을때), 보다 쉽게 확률을 구하는 방법이 있음•방법 첫번째는 지금까지 한 것처럼 모든 경우의 수를 세는 것•두번째는 독립적인 사건들의 확률을 곱하는 것•만약 A와 B가 서로 독립적이라면, A와 B가 같이 일어날 확률은 A의 확률과 B의 확률을 곱한 것과 같다•A (주사위 1)의 확률 = 1/6•B (동전 앞면)의 확률 = 1/2•A의 확률 × B의 확률 = 1/12•동일한 결과가 나옴아래그림
•만약 동전을 던져서 앞면이 나왔을 때, 주사위 1이 나올 확률은?•P(주사위 1 | 동전 앞면) = 2 / 6 = 1 / 3•만약 동전이 뒷면이 나왔다면•P(주사위 1 | 동전 뒷면) = 1 / 6•동전을 던져서 앞면이 나왔다는 것이 주어졌을 때, 주사위 1이 나올 확률이 소폭 상승하였음아래그림
하나의 사건이 다른사건에 영향을 미침
•조건부 확률이란, 어떠한 사건이 발생하였을때, 다른 사건의 확률을 나타낸 것•예를 들어, 사건 A가 발생했을 때 B가 일어날 확률은 P(B | A)•만약 A와 B가 서로 독립적이라면, A가 발생한 것은 B의 확률에 아무런 영향을 주지 않는다•따라서 P(B | A) = P(B)A와 B가 서로 독립적이지 않다면
A가 발생한것이 B의 확률에 영향을 준다.
P(A,B) = P(A) x P(B)
A와 B가 독립적일때만 성립
반대로, 이게 성립하면 A, B독립
•조건부 확률은 어떤 사건이 발생했을 때 다른 사건이 발생할 확률을 의미합니다.•두 사건이 독립적이라면 하나의 사건 발생이 다른 사건의 발생에 영향을 미치지 않습니다.•만약 독립적이지 않다면 영향을 미친다. (다른주사위, 같은주사위)'practice_선형대수' 카테고리의 다른 글
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